Das mit den Vektoren
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz' die Ohren!
Es gibt unendlich viele Vektorräume. Das nur nebenbei
Denn in diesem Song geht es um den R-hoch-3
Das heißt bei jedem Vektor sind in diesem Falle genau drei
Reelle Zahlen als Bestandteile dabei
In einem 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem
Kannst du 'nen Vektor als sowas wie 'nen Pfeil ansehen
Bei dem sind Ausbreitungen in x-, y- und z-Richtung dabei
Genausoviele wie Zahlen in unserem Vektor, nähmlich 3
Na das passt ja, ist ja schön, also fangen wir mal an
Zu gucken was man damit jetzt so alles machen kann
Bei der Addition zweier Vektoren gest du den ersten Pfeil entlang
Von dort setzt du den zweiten an und hast die Summe erkannt
Das Vielfache eines Vektors ist dann gestaucht oder gestreckt
Und bei 'ner negativen Zahl wird noch 'ne Spiegelung vollstreckt
Bei der Subtraktion wird einfach das minus-eins-fache addiert
Also der Vektor den man abzieht einfach andersrum platziert
Durch Verschieben von dem Pfeil ändert sich der Verktor nicht
Doch dadurch hat man auf die Dinge manchmal eine neue Sicht
So ist die Differenz ein Vektor, hier von B nach A
Und substrahierst du zwei Ortsvektoren wird dir klar
Um auf den Vektor vom einen Punkt zum anderen zu kommen
Rechnest du anscheinened immer hinten minus vorn
Addierst du Vielfache von Vektoren nennt man diese Aktion
Allgeimein weil man's oft braucht Linearkombination
Das Ergebnis ist ein Vektor und besonders interessant
Ist wenn der Nullvektor rauskommt man hat zwar schnell erkannt
Dass wenn man immer nur mit null mutipliziert und dann addiert
Das diese Lösung anscheinend immer funktioniert
Doch gibt es mit diesen Vektoren keine andre Lösung weit und breit
Dann Spricht man hier von linearer Unabhängigkeit
Für zwei Vektoren heißt das,
Dass sie nicht in die gleiche Richtung gehn
Bei drei Vektoren, dass sie nicht in der gleichen Ebene stehn
Das mit den Vektoren
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im R hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz' die Ohren!
Soll ich dir mal den Betrag eines Vektors verraten?
Das ist die Wurzel aus der Summe, der Quadrate, der Koordinaten
Womit man sozusagen auf die länge des Vektors guckt
Und dar das jetzt bekannt ist geht's gleich weiter mit'm Skalarprodukt
Skalare sind im R-hoch-3 einfach nur reelle Zahlen
Und eine von denen werden wir hier als Ergebnis haben
Vektor a mal Vektor b ist, vergiss das bitte nie
Betrag von a mal Betrag von b mal der cosinus von phi
Und phi ist der Schnittwinkel der Vektoren a und b
Also falls du den mal brauchst stellst du das einfach um, OK
Wenn du jeweils die gleichen Koordinaten multiplizierst
Kommst du auf das Skalarprodukt wenn du das alles noch addierst
Zwei Vektoren sind zueinander immer dann orthogonal
Wenn ihr Skalarprodukt null ist. Das ist ja auch normal
Denn dann schneiden die sich doch im rechten Winkel und naja
Der Cosinus zu 90 Grad ist null, na klar
Zu jedem Punkt gibts ja den Ortsvektor und drei Mal darfst du raten
Ortsvektor und Punkt haben die gleichen Koordinaten
Das ist praktisch, denn wenn man einen Vektor berechnen kann
Hat man 'nen Punkt beziehungweise dessen Ortsvektor dann
Nimmst du 'nen Vektor und Vielfach's eines and'ren dazu
Kommst du auf ne ganze Menge von Punkten und schon hast du
Eine Gleichung für eine Grade im Raum
Und wenn wir uns da mal kurz dieVektoren anschau'n
Stützt die eine die Grade und der andre gibt die Richtung an
Und das ist ein Prinzip mit dem man Ebenen angeben kann
Da ist dann noch ein zweiter Richtungsvektor dabei
Aber bei Ebenen geht's übrigens auch parameterfrei
Für jede der Koordinaten kannst du'ne gleichung aufschreiben
Und dann die Parameter eliminieren und es bleiben
Nur noch x, y und z in einer Gleichung stehen
Und damit kannst du dann die Ebene in der Koordinatenform sehen
Das mit den Vektoren
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz' die Ohren!
Für Ebenen gibt's übrigens noch eine Variante
Die Normalenform, denn bei Ebenen ist das Interessante
Dass es mit einem Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht
Und einem der das Ganze stützt auch schon wieder geht
Und Ortsvektor minus Stützvektor ist immer orthogonal
Zum Normalenvektor also ist bei der Ebene jedes mal
Dieses Skalarprodukt hier 0 und diese Gleichung reicht aus
Und ist der Betrag des Normalenvektors
Eins kommt die hessische Normalenform raus
Neben dem Skalarprodukt gibt's übrigens, hör zu
Noch das Kreuzprodukt bei den Vektoren und da rechnest du
Erst das mal das minus das mal das und das mal das minus das mal
Das und das mal das minus das mal das kreuzprodukt, ey voll krass
Und das Ergebnis ist ein Vektor und der ist
Orthogonal zu den beiden und der Betrag davon ist
So groß wie die Fläche von dem Parrallelogram
Was die Vektoren aufspannen, sodass ich damit Flächen berechnen kann
So ist das Dreieck die hälfte von dem Parallelogram
Sodass ich ein halb mal Betrag von a kreuz b nehmen kann
Und auch der Vektor ist beim Kreuzprodukt sehr interessant
Denn durch die beiden rechten Winkel, hast du vielleicht schon erkannt
Wenn du 'ne Ebene in Parameterform vor dir hast
Und dann das Kreuzprodukt von den beiden Richtungsvektoren machst
Hast du den Normalenvektor und zusamm'n mit dem der die Ebene stützt
Kannst du die Normalenform angebenfalls dir das mal was NUTzt
Oftmals brauch man aber die Koordinatenform, doch kein Problem.
Die Koeffizienten sind immer die Koordinaten der
Normalenvektoren.
Das heißt du nimmst aus dem Normalenvektor die Zahlen
Und schreibst sie vor das x,
Das y und vor das z und nimmst den Stützvektoren
Und setzt ihn in die Gleichung einfach ein und damit hast du dann
Den letzten Parameter noch gefunden, also kannst du dann
Die Ebene in der Koordinatenform angeben, bleibt nur noch die frage:
Was bringt einem das im Leben? - Ach, egal!
Das mit den Vektoren
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im R hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz' die Ohren!