Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Ist in etwa n Fakultät
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Ist in etwa n Fakultät
Und das ist sogar asymptotisch äquivalent
Das heißt: Der Quotient ist gegen eins konvergent
Also wird der relative Fehler immer kleiner
Und die Approximation für große Werte immer feiner
Mensch, das ist gut, denn wir können damit jetzt
Auf die Frage, wie schnell eigentlich die Fakultät wächst
In diesem Sinne die genaue Antwort geben
Und sie lautet eben: Genauso schnell wie
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Ist in etwa n Fakultät
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Ist in etwa n Fakultät
Wusstest du, dass n Fakultät
Durch x hoch n mal e hoch minus x entsteht
Wenn man das von 0 bis unendlich integriert
Das induktiv zu zeigen ist nicht wirklich kompliziert
Somit sind die Fakultäten bildlich gesehen
Die Flächen, die unter diesen Graphen entstehen
Und die wachsen hier natürlich immer weiter
Denn sie werden immer höher und auch noch immer breiter
Und macht man jetzt ein bisschen Kurvendiskussion
Dann findet man das Maximum von dieser Funktion
Bei x gleich n und damit siehst du jetzt
Wie schnell die Funktion in die Höhe wächst
Denn der größte Funktionswert ist immer n durch e hoch n
Das könnten wir auch vertikalen Wachstums-Term nennen
Wir ziehen den jetzt erstmal aus dem Integral heraus
Und gleichen das dann dafür durch eine Division aus
Wir haben uns're Integranden also jetzt
So gebaut, dass es nicht mehr nach oben wächst
Doch das Maximum ist immer noch an der Stelle n
Und dadurch driftet das nach rechts – kann man ja gut erkennen
Doch schiebt man das jeweils um n nach links, dann
Bleibt das Integral gleich, aber jetzt sieht man
Der Hochpunkt ist genau bei null eins fixiert
Und mit wachsendem n wird das breitgeschmiert
Such ich jetzt die Wendepunkte, dann erkenn
Ich: Die liegen bei plus-minus Wurzel n
Ich könnte das jetzt um den Faktor Wurzel n stauchen
Den wir als Ausgleich dafür vor dem Integral brauchen
Da wir hier insgesamt nur linear substituiert haben
Bleibt es bei den gleichen Formen – nur mit anderen Koordinaten
Lass ich n laufen, seh ich im Grenzwert die
Gaußsche Glockenkurve mit Integral Wurzel 2 Pi
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Ist in etwa n Fakultät
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Ist in etwa n Fakultät
Also: Wir haben bisher Folgendes gemacht
Das vertikale Wachstum auf eins runtergebracht
Den Drift nach rechts wieder nach links korrigiert
Und dann gesehen, dass Wachstum in der Breite passiert
Daher die Wendestellen bei plus minus eins fixiert
Und jetzt sind wir an dem Integral interessiert
Schauen wir uns den Integranden an, dann
Fassen wir das zusammen und dann kann man
Das alles als e hoch eine Funktion begreifen
Die wir im Folgenden als f n von x bezeichnen
Schauen wir uns mal deren Ableitungen an
Und setzen für die Stelle x null ein, dann sieht man
Wenn man das jetzt auf den Satz von Taylor loslässt
Die Funktion ist ja das Taylor-Polynom plus der Rest
Wo bei uns konkret jetzt eben das hier steht
Wobei der Rest-Term für große n gegen null geht, denn
Ist n größer als vier x Quadrat, wird es spannend, denn
Dann ist der Betrag von Xi höchstens ein Halb Wurzel n
Also mehr als das wird hier im Nenner nicht subtrahiert
Und jetzt sieht man, dass es gegen null konvergiert
Für jedes feste x wissen wir jetzt garantiert
Wird n groß genug, dann ist f n hier definiert
Und der Grenzwert ist minus ein Halb x Quadrat
Und nimmt man e hoch das Ganze, dann sieht man grad
Der punktweise Grenzwert von uns'rem Integrand
Ist exakt die Gaußsche Glockenkurve! Interessant
Doch nur, weil das an jeder Stelle x konvergiert
Heißt das noch nicht, dass es genauso mit dem Integral passiert
Dafür nutzen wir jetzt dominierte Konvergenz
Ich brauch eine Funktion, mit der ich alles begrenz
Und deren Integral muss dann endlich sein
Beim Betrachten der Graphen hat es den Schein
Dass rechts hier der Fall n gleich eins dominiert
Und vielleicht ist es ja so, dass das gespiegelt funktioniert
Es ist tatsächlich so, dass diese Ungleichung stimmt
Das kann man beweisen, indem man diese Hilfsfunktion nimmt
Und für negative und positive Werte getrennt
Über die Ableitung die Monotonie erkennt
Da es erst steigt und dann fällt, haben wir nämlich hier
Das Maximum bei null und h ist so definiert
Dass wenn man jetzt umstellt und e hoch das Ganze nimmt
Dadurch jetzt gezeigt wird, dass es stimmt
Also: Beim Grenzwert des Quotienten aus n Fakultät
Und der Stirling-Formel, wenn n gegen unendlich geht
Benutzen wir hier unser Integral und jetzt
Kann man einiges hier kürzen. Fetzt
Jetzt können wir nicht nur den punktweisen Grenzwert sagen
Nein, wir wissen auch, dass wir eine Majorante haben
Was uns jetzt dominierte Konvergenz lehrt
Ist: Auch mit dem Integral gilt hier der Grenzwert
Das zu integrieren ist 'ne Story für sich
Aber ganz unbekannt ist diese Funktion hier sicher nicht
Als Dichte der Normalverteilung ist weit bekannt
Das Integral ist eins, also haben wir ganz entspannt
Bewiesen: die beiden sind asymptotisch äquivalent
Und ich singe die Formel noch einmal, damit sie jeder kennt
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Ist in etwa n Fakultät
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Das ist die Stirling-Formel
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
Ist asymptotisch äquivalent zur Fakultät